Sains Malaysiana 39(6)(2010): 1031–1034

A Description of an Automorphism of a Split Metacyclic p-group

(Pemerihalan Tentang Automorfisme bagi Kumpulan-p Metakitaran Belahan)

Idham Arif Alias*

Institute for Mathematical Research

Faculty of Science, Universiti Putra Malaysia

43400 UPM Serdang, Selangor D.E., Malaysia

Diserahkan: 17 November 2009 / Diterima: 17 Februari 2010

ABSTRACT

A map on a group is not necessarily an automorphism on the group. In this paper we determined the necessary and sufficient conditions of a map on a split metacyclic p-group to be an automorphism, where we only considered p as an odd prime number. The metacyclic group can be defined by a presentation and it will be beneficial to have a direct relation between the parameters in the presentation and an automorphism of the group. We considered the action of an automorphism on the generators of the group mentioned. Since any element of a metacyclic group will be mapped to an element of the group by an automorphism, we can conveniently represent the automorphism in a matrix notation. We then used the relations and the regularity of the split metacyclic p-group to find conditions on each entry of the matrix in terms of the parameters in its presentation so that such a matrix does indeed represent an automorphism.

Keywords: Automorphism; matrix representation; split metacyclic p-group

ABSTRAK

Satu pemetaan bagi suatu kumpulan tidak semestinya merupakan suatu automorfisme bagi kumpulan tersebut. Dalam makalah ini kami mengkaji syarat-syarat cukup dan perlu bagi suatu pemetaan kumpulan-p metakitaran belahan untuk menjadi satu automorfisme, dan kami hanya mengambilkira p sebagai suatu nombor perdana ganjil sahaja. Suatu kumpulan metakitaran boleh ditakrifkan dengan suatu pembentangan dan adalah bagus sekiranya terdapat satu kaitan terus di antara parameter-parameter di dalam pembentangan berkenaan dengan sebarang automorfisme kumpulan tersebut. Kami mengambilkira tindakan suatu automorfisme terhadap penjana-penjana kumpulan yang disebutkan. Disebabkan sebarang unsur kumpulan metakitaran tersebut akan dipetakan kepada suatu unsurnya, automorfisme berkenaan boleh diwakilkan dengan suatu simbol berbentuk matriks. Kami kemudiannya menggunakan hubungan dan kenalaran suatu kumpulan-p metakitaran belahan untuk mencari syarat-syarat bagi setiap pemasukan matriks berkenaan dalam sebutan parameter-parameter di dalam pembentangan kumpulan tersebut supaya matriks sedemikian mewakili suatu automorfisma.

Kata kunci: Automorfisma; kumpulan-p metakitaran belahan; perwakilan matriks

RUJUKAN

Bidwell, J.N.S. & Curran, M.J. 2006. The automorphism group of a split metacyclic p-group. Arch. Math. 87(6): 488-497.

Bidwell, J.N.S., Curran, M.J. & McCaughan, D.J. 2006. Automorphisms of direct products of finite groups. Arch. Math. 86(6): 481-489.

King, B.W. 1973. Presentations of metacyclic groups. Bull. Austral. Math. Soc. 8: 103-131.

Menegazzo, F. 1993. Automorphisms of p-groups with cyclic commutator subgroup. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 90: 81-101.

Schulte, M. 2001. Automorphisms of metacyclic p-groups with cyclic maximal subgroups. Rose-Hulman Undergraduate Research Journal 2(2).

*Pengarang untuk surat-menyurat; email: idham@math.upm.edu.my